Analyse de Fourier (2003/2004)
Partiel : mercredi, le 31 mars 2004,
14h00-16h00, Salle IS3
(documents non autorisés)
Cours :
28/1/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7 ,
8 ,
9 ,
10
Introduction.
Les espaces Lp (1≤p≤+∞) : structure vectorielle et normée ;
inégalités de Hölder et de Minkowski.
18/2/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
Les espaces Lp (1≤p≤+∞) : structure topologique (espaces de Banach,
sous-espaces denses de Lp).
L'espace L2 (produit scalaire, espaces préhilbertiens, inégalité de Schwarz, identité du parallelogramme, espaces de Hilbert, structure d'espace de Hilbert dans L2)
25/2/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
Les espaces lp(J) (avec 1≤p≤+∞), où J est un ensemble non vide.
Géométrie des espaces de Hilbert : orthogonalité.
3/3/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7 ,
Systèmes orthogonals et bases orthonormées, coefficients
de Fourier, théorème de Riesz-Fisher.
10/3/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7
Séries de Fourier : fonctions 1-périodiques ;
le tore Tn ; les espaces
Lp(Tn) (1≤p≤+∞) et l'espace
C(Tn).
Analyse de Fourier sur L2(Tn) : le
théorème de Stone-Weierstrass complexe ; la base
orthonormée
{ek}(k ε Zn) ;
coefficients de Fourier ; séries de Fourier ; les identités
de Plancherel et de Parseval.
17/3/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7 ,
8
Analyse de Fourier sur L1(Tn) :
coefficients de Fourier, transformée de Fourier, séries de Fourier. Le cas n=1, fonctions paires et impaires. Convolution, L1(Tn) comment algèbre de Banach.
Propriétés de la transformée de Fourier sur
L1(Tn)
24/3/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6
Lemme de Riemann et Lebesgue. L'algèbre de Banach
C0(Zn).
Convergence de la séries de Fourier sur L1(Tn) : séries de fonctions sommables, uniformément sommables et
normalement sommables ; critère de Weierstrass. Conditions pour la
convergence normale de la série de Fourier d'une fonction dans L1(Tn).
19/4/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5
Convergence ponctuelle de la série de Fourier pour n=1.
Noyau de Dirichlet. Convergence de la série de Fourier de
fonctions lipschitziennes. Principe de localisation.
26/4/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5
Convergence de la
série de Fourier de fonctions lipschitziennes par morceaux.
Analyse de Fourier sur L1(Rn) :
définition et premières exemples.
6/5/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
7 ,
8 ,
9 ,
10 ,
11 ,
Convolution de functions et régularisation ;
propriétés de la transformée de Fourier sur
L1(Rn) ; intégrale de Fourier ;
inversion de Fourier ; injectivité de la transformée de Fourier
sur L1(Rn).
13/5/2004 :
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6
L'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide.
Analyse de Fourier sur L2(Rn) ,
égalités de Plancherel et de Parseval.
Application de la transformée de Fourier à la résolution
des équations différentielles.
Angela Pasquale
Last modified: Tue Mar 29 13:57:42 CEST 2005
