Analyse de Fourier (2004-2005)
Partiel : mercredi, le 13 avril 2005,
14h00-16h00, Amphi Poncelet
(documents non autorisés)
Exam : mercredi, le 1 juin 2005,
13h30-16h30, Amphi Poncelet
(documents non autorisés)
Oraux : Les étudiants ayant une note d'écrit dans
[8,10[ sont convoqués à l'oral. Les oraux ont lieu dans l'après midi de jeudi 9 juin. Me contacter par email (pasquale@math.univ-metz.fr)
pour fixer l'horaire.
Cours :
26/1/2005 :
Introduction.
Les espaces Lp (1≤p<+∞) : structure vectorielle et normée ;
inégalités de Hölder et de Minkowski.
7/2/2005 :
L'espace L∞ (1≤p<+∞) :
structure vectorielle et normée.
Les espaces Lp (1≤p≤+∞) : structure
topologique ; espaces de Banach, sous-espaces denses de Lp.
9/2/2005 :
Densité de Cc(Rn) dans
Lp(Rn) (1≤p<+∞).
L'espace L2 : produit scalaire, espaces
préhilbertiens, inégalité de Schwarz, identité
du parallelogramme, espaces de Hilbert, structure d'espace de Hilbert
dans L2
23/2/2005 :
Les espaces lp(J) (avec 1≤p≤+∞), où J
est un ensemble non vide, séries sommables
Géométrie des espaces de Hilbert : orthogonalité.
2/3/2005 :
Systèmes orthogonals et bases hilbertiennes, coefficients
de Fourier, théorème de Riesz-Fisher.
9/3/2005 :
Séries de Fourier : fonctions 1-périodiques ;
le tore Tn ; les espaces
Lp(Tn) (1≤p≤+∞) et l'espace
C(Tn).
Analyse de Fourier sur L2(Tn) : le
théorème de Stone-Weierstrass complexe ; la base
hilbertienne
{ek}(k ε Zn) ;
coefficients de Fourier ; séries de Fourier ; les identités
de Plancherel et de Parseval.
16/3/2005 :
Analyse de Fourier sur L1(Tn) :
coefficients de Fourier, transformée de Fourier, séries de Fourier. Convolution, L1(Tn) comme algèbre de Banach.
Propriétés de la transformée de Fourier sur
L1(Tn)
23/3/2005 :
Lemme de Riemann et Lebesgue. L'algèbre de Banach
C0(Zn).
Convergence de la séries de Fourier sur L1(Tn) : séries de fonctions sommables, uniformément sommables et normalement sommables ; critère de Weierstrass.
Conditions pour la convergence normale de la série de Fourier
d'une fonction dans L1(Tn).
30/3/2005 : (1 heure)
Convergence ponctuelle de la série de Fourier pour n=1 :
Noyau de Dirichlet. Théorème de Dirichlet.
6/4/2005 :
La transformation de Fourier sur L1(Rn) :
Convolution de functions et régularisation ;
propriétés de la transformée de Fourier sur
L1(Rn).
4/5/2004 : (une heure et demi)
Lemme de Riemann-Lebesgue ; l'intégrale de Fourier d'une
fonction L1 ; inversion de la transformé de Fourier.